贝尔不等式的谬误与祸害
先来编造一个幽默故事作为文章的引言。有一对米你双胞患了重病，一位郎中A搞到大师B的一个“经典药方”。不过有两个条件，（1）患者客观实在，（2）双胞一方的诊治不影响对方，也不受对方处境安排的影响。前者称为实在性条件，后者称为定域性条件，这两个条件合理到可称十足废话。不料治疗无效，大师B的经典药方不容丝毫怀疑，因此郎中A断言这对双胞必定缺少定域的实在性。可以想到，这对双胞只要缺实在性或缺定域性二者之一就治疗无效，即如果他们不缺实在性，必缺定域性，反之，如果不缺定域性，那就必缺实在性。到底缺哪个，或二者皆缺，还是无法断定的。后来，另有一位郎中G搞到大师L的一个不那么经典的药方，条件（1）同前，条件（2）有所放松，把“也不受对方处境安排的影响”改为“但会受对方处境安排的影响”。结果还是治疗无效，大师L的药方更不容怀疑，他还是诺奖得主呐，于是郎中G说，否定他们的定域性还不够，还要否定他们的实在性。我们注意到，从逻辑上讲，这些郎中从治疗结果都未能否定定域性和非实在性的联合。但是，郎中A还是“倾向于”承认非定域性和非实在性的联合，叫喊这种治疗无效敲响了爱因斯坦的定域实在论思想的丧钟，宣称实验已经证实大自然存在非定域性（鬼魅隔空作用），预期这个深刻科学发现将带来一场新的技术革命。“巫婆神汉”大喜，不仅鼓励营业，还被寄予获诺奖的厚望。诺奖得主约瑟夫森说：“这些发展可以导致对像传心术等过程的解释。”
言归正传。文章标题所指的贝尔不等式起因于玻姆理论和EPR论证，约翰?贝尔说：“当考虑多于一个粒子时，研究导波理论[玻姆的量子势理论]立即导致远距离作用问题或‘非定域性’和爱因斯坦-波多尔斯基-罗森关联。”EPR论证关系到量子纠缠的解释和量子力学的完备性问题。爱因斯坦的朋友卡尔?波普尔说：“爱因斯坦，波多尔斯基和罗森（EPR）的著名论文，以我之见（为爱因斯坦1950年所确认），是设计证实一个粒子可以同时具有位置和动量，作为反对哥本哈根诠释。”三位作者相信物理实体客观存在和量子力学描述的不完备性，他们认为：“虽然因此我们已经证明波函数不提供物理实在的完备描述，这样的描述是否存在是尚待回答的问题。然而我们相信这样的理论是可能的。”爱因斯坦在写给马克斯?玻恩的信中说：“我不能虔诚地相信[这量子理论]，因为它不能与这个思想调和，即物理应当表示时空中的实在，无鬼魅远距作用。”1964年贝尔试图引进潜变量对量子力学恢复定域因果性，他假设点粒子具有实在性和定域性，沿用经典统计方法，提出一个不等式，从而“证明”任何潜变量理论与量子力学不相容，即后人所称的贝尔定理。他说：“‘定域因果性’的显然定义在量子力学中行不通，而且这不能归于那个理论的不完备性”。后来有四位物理学家提出贝尔不等式的一个变种，称为CHSH不等式，适合于用光学实验检验。他们考虑一对偏振纠缠光子，光子各经一个偏振器达到一个探测器，用一个符合计数器记录这些探测器输出信号的符合情况。设两个偏振器的方向设置各为A和B，实验可测量偏振关联函数E(A,B)。偏振器方向的设置可以改变，可有(A,B)、(A,B')、(A',B)和A',B')四种情形，他们推导出的不等式为：|E(A,B)-E(A,B')+E(A',B)+E(A',B')|的值小于等于2。若取A与B'的夹角为67.5度，其余三种情形的夹角均为22.5度，由量子力学预言的值为2乘根号2（近似2.828），这个值违反CHSH不等式（小于等于2）。阿莱恩?阿斯佩克特等实验检验发现结果基本上符合量子力学预言，因此他们认定爱因斯坦的定域实在论思想是错误的。亨利?斯塔普称贝尔在量子理论上的工作是“最深刻的科学发现”。尼古拉?盖辛说：“我敢断定，几十年后，在高中里将教授贝尔不等式，因为它们的数学简单性，它们作为科学方法例子的力量和它们对我们世界观的巨大影响。”他感叹：“我们真幸运生活在物理学发现和探究大自然非定域特性的时代。”值得注意的是，2007年4月阿斯佩克特在Nature上的一篇文章中说：“我们可以选择放弃[定域性和实在性]二个观念之一或者甚至放弃二者，在逻辑上无必然的答案。”这里他承认否定爱因斯坦的定域实在论思想不是由实验结果得出的必然结论，其否定还需有别的理由。
安什尼?乐格特考虑放松定域性而保持实在性的可能性，在2003年提出特殊一类非定域潜变量理论和不等式，其中假设一方的探测设置会影响对方的测量结果，不管相距多远。他发现这些理论和不等式与量子力学不符。2007年塞门?格罗勃拉齐尔等实验检验发现结果违反乐格特不等式，他们的结论是：“我们的结果示意，放弃定域性观念不足以与量子实验一致，除非放弃某些直观的实在论特征。”我们注意到，CHSH不等式和乐格特不等式检验结果都未能否定定域非实在论。在格罗勃拉齐尔等的实验检验之后，阿斯佩克特特意为同时放弃定域性和实在性做了辩护。他在2007年的文章中承认“对会受远方事件影响的物理实在观念感到不安。”他说：“在爱因斯坦的许多著作中，完备描述定域于时空的体系的态的物理实在观念是清楚与相对论的不可能性相关，即物理实在不受远方事件的瞬间影响。引用爱因斯坦的说法，逃避以定域实在论方式完善量子力学的必要性‘只靠假设S1的测量会（传心术式的）改变S2的实在状态，或只靠否定空间彼此分离东西的独立实在情况，两者挑一对我[爱因斯坦]似乎都是完全不能接受的’。”阿斯佩克特表示：“我倾向于接受上面示意的那种有益激发我想象力的非定域图像，虽然我清楚知道这意味着要放弃我本来喜欢的那种实在论。”好一个“倾向”，他凭自己的倾向叫喊：“名为贝尔不等式的数学关系式的实验违反敲响了量子力学中爱因斯坦的定域实在论思想的丧钟。”看来，阿斯佩克特的理有点儿不够直，气倒还是很壮。
贝尔不等式和贝尔定理关系到量子的本性，量子本性原是一个谜团。我们深受经典力学和经典电磁学的影响，因而面对量子现象和量子力学的数学形式觉得非常奇怪，以至不可思议。从量子力学问世，海森伯，玻恩和玻尔各提出不确定原理，波函数的几率幅解释和互补原理，有力地对抗经典物理成见对新理论及应用发展的有害影响。但是在这些原理底下，还是保留着经典点粒子的观念，这种点粒子观念引起许多谜团和佯谬，以致要靠否定微观粒子的客观实在性和因果律去表面协调。如讲一个粒子既在这里又在那里，讲时间不分先后、未来影响过去，讲观察者的知觉引起一个波函数瞬间坍缩成点，讲相距无穷远的纠缠粒子有神秘的瞬间感应，更有甚者，讲薛定谔所嘲笑的既死又活的猫和观察创造实在，真的，许多专家学者公然置简单逻辑关系于不顾，以“精神分裂”为时尚。爱因斯坦不信或不会相信此类鬼话，不愧为坚持科学精神的旗手。早在1938年，他和英费尔德在《物理学的进化》中就杨氏双孔干涉理解困难写道：“科学迫使我们创造新的观念和新的理论。它们的任务是拆除那些常常阻碍科学向前发展的矛盾之墙。所有重要的科学观念都是在[客观]实在跟我们的理解之间发生剧烈冲突时诞生的。”他们认为：“最大部分的能量集中在实物之中；但是围绕微粒的场也代表能量，不过数量特别微小而已。因此我们可以说：实物便是能量密度特别大的地方，场便是能量密度特别小的地方。但是如果是这样的话，那么实物和场之间的区别，与其说是定性的问题，倒不如说是定量的问题。”显然他们期待对实物和场有一个综合认识，这是解开量子谜团的关键。
现在我们已经有了对实物和场的综合描述，即粒子性和波动性的综合描述。数学上极其简单，物理上直接了当，由无限多个“潜波”可以叠加出极窄的、不发散的、线性的波包--初级波包，其中与粒子动量和能量相关的特征分量就是我们熟知的波函数，这种波包可以表示微观粒子的完备态（实在态）。光脉冲和德布罗意波包是那些特征分量叠加成的具发散性的次级波包，次级波包甚至可能是（准）空的，这在高度衰减束单光子探测实验中常遇到。微观粒子的初级波包模型意味着实在性、定域性、完备性和直观性。这里的潜波是量子实体的组成分，而不是参与平均的随机潜变量，贝尔型随机潜变量的统计学与量子力学不相容。量子干涉起源于这种波包的不含峰片对含峰片的作用，因而经典点粒子观念反映对波包峰外部分的忽视。在未意识到初级波包之前，容易认为经典的粒子性与几率幅表示的波动性是“互补的”。量子纠缠起源于这种波包的含峰片与其它波包的不含峰片恰好不可分离的叠合--定域纠缠，这种交叠是量子纠缠的真相和本质，而经典点粒子观念反映对这种交叠的忽视，这种忽视导致“廉价地”用隔空作用（非定域性）来解释量子纠缠，错误在于空实混淆、远近颠倒。认为量子纠缠比量子干涉包含更深的奥秘、更神通广大以及量子信息处理和量子力学基础检验中出现的错误都源于此。必须强调，量子纠缠公式中粒子形式编号的非定域性，与波函数的叠加性和预言的几率性一致，体现量子力学的内在一致性、正确性和描述的不完备性。量子实体（初级波包）大大不同于经典点粒子和量子几率（玻恩几率）大大不同于经典统计学中的几率，因此不能不防范经典物理成见在我们头脑里作祟。贝尔和乐格特推导的不等式都是根据经典的点粒子观念和经典统计法，不管他们的数学推导多么合理，至少对量子实体用这种统计法是没有先验理由的，不能默认为正确。既然量子力学是正确的，贝尔型不等式和乐格特不等式违反量子力学预言，正表明这些不等式本身是杜撰出来的，用它们来判断量子是否有实在性和定域性是节外生枝，也不能用它们来检验量子态是否是真正纠缠态。说贝尔的工作使有可能设计真实实验来检验EPR论证是无稽之谈。
上述贝尔型不等式是关于二粒子纠缠的，后来被推广到多粒子纠缠。贝尔型不等式常被视作可靠判据。早期工作失误难免，不予置评，这里只谈较近的。例如，有一篇国际影响非常大的论文，中科大潘建伟组2003年发表的“四光子GHZ纠缠对定域实在论的实验违背”，宣称“在国际上首次完整验证了四光子GHZ态对定域实在论的违背，首次证明了该种方法产生的态是真正的四光子GHZ态，为实现线性光学量子计算和量子密钥共享提供了技术支持和安全保证。”他们的验证用了四粒子贝尔型不等式（MABK不等式）。在这个实验中，他们利用波函数坍缩玄妙机制，采用半透半反镜和符合计数测量制备光子纠缠态。从量子纠缠的本质看，这种方法产生不了光子的纠缠态，而且，如上面所述，贝尔型不等式无助于检验某个量子态是否是真正纠缠态，因此这篇论文有双重原则性错误。又在2005年的论文“五光子纠缠的实验演示和终端开放量子隐形传态”中，作者由“足以违背五粒子贝尔型不等式”的实验资料做出结论：“因此测量结果清楚证明五粒子纠缠首次被观察到。”纠缠粒子的确具有不可分离性，原来它是不同编号粒子的非空态与准空态叠合体本身的不可分离性，而量子隐形传态（隔空传物）理论是依据子虚乌有的远距不可分离性。因此连同隐形传态的谬误，这篇论文有三重原则性错误。还有，2007年发表的论文“六光子图态的实验纠缠”的作者也用半透半反镜和符合计数测量制备光子纠缠态，不过为证实光子纠缠用了所谓“纠缠见证法”。顺便指出，既非六光子纠缠，何来实现见证。见证算符关系到密度矩阵的部分转置，因为不同编号粒子的非空态与准空态的叠合被错误理解为远距（非定域）纠缠，则必然把同一编号粒子的远距置换错当作可执行的定域操作，因此这篇论文也有双重原则性错误。最近（5月7日）潘建伟、陈增兵、Zukowski、Weinfurter 和 Zeilinger 在文章“多光子纠缠和干涉测量法”中宣称：“贝尔证明量子力学与定域实在理论矛盾。他的著名定理是深刻的科学和哲学推断。”文章说明他们还在编织借非定域性（鬼魅隔空作用）创造奇迹的美梦。他们的那些错误都是对量子纠缠本质的误解加上不严肃从事实验工作所致，严肃的实验和谨慎地下结论至少有助于发现认识上的错误，从而在迷途上幡然醒悟。在这里做这样的评论似乎不合“学术惯例”，有一位网友的话很有代表性：“发表潘的PRL，NATURE PHYSICS 的编委全瞎眼了，反倒不如北大物理学院的一个小小的王XX？”
常听说阿斯佩克特等的实验证明了非定域性和贝尔定理已被公认，这些说法不符合事实。现在，我们在这里列出一些量子物理专家对贝尔不等式和贝尔定理的批评：
*穆尔敏（N. D. Mermin）：“鲁道夫?佩尔斯爵士不相信贝尔定理证实了非定域性。”“对我来说，非定域性似乎为消除某些深深的困惑“太便宜地”提供了一条出路。”
*洛察克（G. Lochak）：“依我之见，贝尔不等式的实验违反无关于所谓的“非定域性”或“非分离性”。这违反只不过表明量子几率不是经典几率！”
*德拜锐（W. De Baere）等：“首先，必须认为量子数学体系本身是完全定域的，意即在一个地方的测量结果统计不依赖于远处另外的同时作用。并且，在所有现时有趣的量子场论中，对类空间隔(x-y的平方)，观察量的对易子 [A(x),B(y)]等于零，这保证定域性。”
*佩雷斯（A. Peres）等：“贝尔定理并不意味着量子力学本身存在任何非定域性。特别是，相对论量子场论明显是定域的。简单而显然的事实是，信息必须被量子化或不量化的物质携带。因此量子测量不允许任何信息传送快于实验中发射的粒子格林函数中出现的特征速度。”
*阿德尼尔（G. Adenier）：“虽然证明贝尔不等式违反的实验愈来愈准确和无漏洞，必须强调，不管如何地准确和接近理想，它们能证明的不外乎量子力学的有效性，而不是那定理的有效性。”
*贝尼（G. Bene）：“然而，我们坚持认为这样的结论[分离体系能够互相影响]在物理上不能被接受。定域性原理（或爱因斯坦分离性）在所有物理学分支中，甚至在量子物理中，包括最深奥的量子场论，我们已经用得很好。颇难相信它只在测量情形中失效。毕竟，测量只是两个物理体系间的作用，其一是原子组成的宏观测量器件，对它的结构和作用我们从量子力学有相当好的理解。无留给神秘非定域影响的余地。”
*阿卡笛（L. Accardi）等：“我们证明定域条件与贝尔不等式不相关。我们检查认为贝尔不等式的实际起源是经典（柯尔莫戈洛夫）几率理论可应用于量子力学的假设。”
*散托斯（E. Santos）：“实际上至今被实验上违反的所有不等式都不是单独从实在论和定域性条件推导出的真正贝尔不等式，而是要求辅助假设推导出的不等式。颇为显然，这种不等式的违反不能驳倒整个定域潜变量理论家族，而只是有限的家族，即满足辅助条件的那一些。”“依我之见，错误信仰[定域潜变量理论已在实验上被驳倒]影响的扩大是二十世纪物理史上最大的忽悠（delusion）之一。”
*谭天荣:“贝尔不等式可以追溯到一个显然不成立的经典概率论的公式，而量子力学的自旋相关公式则可以追溯到一个已经被实验证实的量子力学公式。由此可以得出结论：第一，贝尔得出的关于贝尔不等式与量子力学的自旋相关公式不能同时成立的数学结论，既与隐变量理论无关，也与定域性原理无关；第二，用实验来判断贝尔不等式与量子力学的自旋相关公式哪一个成立是不必要的。”“从经典概率论也可以导出某些量子力学的结论，因此不能不分皂白地断言经典概率论不适用于微观过程。但是，把经典概率论应用于微观过程就像走钢丝，一不小心就会失足摔倒，贝尔不等式就是一个例子。”
以上引用的是一面之词，这里引一条反面意见：
*polik（XYS网帖作者）：“王一方面通过否定量子力学目前容许的"非定域特征"来批评"潘建伟研究组的工作"可能建立在脆弱的学理上，另一方面他又毫不顾忌地引入无丝毫实验证据更为离奇的所谓"准空态"来解释现有的实验观察，其大无畏精神必令堂吉柯德自叹弗如。”“王所引用的那些质疑量子力学正统解释的人和他们的话，都是边缘人物或者极端少数观点。不是说边缘人物都有问题，但决不是边缘人物的话就是对的。他引用的一些人根本就是一些熟知的民科水平的大嘴巴学者。再如，他引用这些国际民科的话说:"贝尔不等式实验检验的违反只表明经典统计法不适用于推导量子力学的预言"以及德布罗意基金会前主席洛察克（G. Lochak）说"依我之见，贝尔不等式的实验违反无关于所谓的'非定域性'或'非分离性'。这违反只不过表明量子几率不是经典几率!"请问：能否给出所谓"量子概率"的定义？如何用它理解Bell定理？再说，这些话与王推崇的"准空态"和"潜波"有何关连？”
贝尔以为自己考虑的潜变量类型已穷尽一切，但是，贝尔从未意识到由无限多个“潜波”叠加出不发散波包（初级波包）描述量子的可能性，符合相对论因果性的“潜波”的补充与量子力学是完全相容的，即单次测量的结果由初级波包确定，而玻恩几率是由波包中与力学量相关的特征分量（波函数）的模平方决定。还有，一对形式编号为1和2的纠缠粒子关系到四个态，某一时刻必有两个态是准空的，幼儿都明白两块糖与四个装糖小盒的数目关系，因此这种纠缠自然可以解释为编号1粒子的准空态与编号2粒子的非空态不可分离的叠合，即形成叠合体S1和S2，但两个非空态（或准空态）间无远距关联，绝无隔空联动效应，即量子纠缠完全是定域的，贝尔也不识量子纠缠的这个真相和本质。由此判断“任何定域潜变量理论与量子力学不相容”是一个伪定理。说来好似废话，承认客体存在、区分态的空实、理顺态的远近，是摆脱“鬼魅缠身、精神分裂”的良方。与爱因斯坦的定域实在论思想一致，笔者断然认为，从玻尔和海森伯等否认量子的客观实在性和因果律，玻姆“发现”量子行为的非定域性，贝尔型不等式和其实验检验否定爱因斯坦的定域实在论思想，到隔空传态（传物）理论问世和“实验实现”，是从一连串错误观念和错误理论到有意无意编造虚假实验结果的历程。的确实验事实最有说服力，但这也是真的，难以识破的虚假实验结果也颇有迷惑力，甚至能迷倒某些诺贝尔奖得主，不用说某些刊物的主编了。反而外行和百姓不易被神出鬼没、隔空传物的故事所忽悠。
早于EPR的论文三年，冯诺依曼在他1932年的书中给出了潜变量不可能性的首个“证明”，声称：“应当指出，我们无需进一步去研究“潜参数”的机制，因为我们现在知道量子力学确立的结果从未能借助它推导出来。”贝尔反对他的证明说：“然而冯诺依曼的证明，如果真的去抓住它，会在你手中瓦解！一无所有，不但搞错了，而且很愚蠢！”现在我们无需用同样的话去批评贝尔的潜变量不可能性证明，毕竟都是理论探讨。阿斯佩克特等的实验是有益的，但是他带有个人倾向的结论“名为贝尔不等式的数学关系式的实验违反敲响了量子力学中爱因斯坦的定域实在论思想的丧钟”荒谬至极，此类打着实验证明旗号的结论把量子科学研究引向歧途，如错误地把非定域性看作是量子信息处理的物理资源，号召借非定域性这种神秘力量掀起“第二次量子革命”。最惊人的是“量子巫术”登上科学舞台，先有隔空传态（传物）理论，接着破天荒地“实验实现”，随之出现它的技术和应用开发热潮，至今方兴未艾。借所谓非定域性（鬼魅隔空作用）搞技术革命，只能搞巫术表演，肯定一事无成。遗憾的是，国内外有大批人还在空耗纳税人的巨额钱财以及不断以自欺欺人的成果震惊世界。看来，贝尔不等式的后果极为严重，祸害不浅！贝尔定理被捧成教条和爱因斯坦的定域实在论思想被否定实为科学史上最愚蠢之举。
（作者：王国文，北京大学物理学院，2008-06-04）
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